Page 11 - Ellingham, Mark, Mariusz Meszka, Primož Moravec, Enes Pasalic, 2014. 2014 PhD Summer School in Discrete Mathematics. Koper: University of Primorska Press. Famnit Lectures, 3.

tents

1 Mark Ellingham: Construction Techniques for Graph Embeddings 1
1.1 Embeddings of graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Voltage graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Current graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Bouchet’s diamond sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Transition graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Surgery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Connections with design theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Bouchet’s covering triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Mariusz Meszka: Combinatorial Designs 35
2.1 Balanced incomplete block designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Latin squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Pairwise balanced designs and group divisible designs . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Steiner triple systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Resolvable designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Other classes of designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.1 Affine and projective planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.2 Cycle systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3 G -designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.4 t -designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.5 Room squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.6 Hadamard matrices and designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Primož Moravec: Some Topics in the Theory of Finite Groups 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Basic notions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
61
3.2.2 Examples of groups and GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
69
3.2.3 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.4 Group actions and Sylow’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.5 An estimate of the number of finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.6 Jordan-Hölder theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 How to draw a group? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii