Page 12 - Ellingham, Mark, Mariusz Meszka, Primož Moravec, Enes Pasalic, 2014. 2014 PhD Summer School in Discrete Mathematics. Koper: University of Primorska Press. Famnit Lectures, 3.
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CONTENTS
3.2.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Finite simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1 Faithful primitive actions and Iwasawa’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Symmetric groups and alternating groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3 Simplicity of projective special linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.4 On the classification of finite simple groups (CFSG) . . . . . . . . . . . . 90
3.3.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Some extension theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.2 Semidirect products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.3 Extensions with abelian kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.4 The Schur-Zassenhaus theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5 Nilpotent groups and p -groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.1 Nilpotent groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.2 Finite p -groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.3 Enumeration of finite p -groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.4 Coclass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Enes Pasalic: Symmetric Key Cryptography and its Relation to Graph Theory 123
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 LFSR based stream ciphers and basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Equivalence classes of Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4 Vectorial Boolean functions - substitution boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Vectorial bent functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6 Graph theoretic aspects of Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.2.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Finite simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1 Faithful primitive actions and Iwasawa’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Symmetric groups and alternating groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3 Simplicity of projective special linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.4 On the classification of finite simple groups (CFSG) . . . . . . . . . . . . 90
3.3.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4 Some extension theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.2 Semidirect products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.3 Extensions with abelian kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.4 The Schur-Zassenhaus theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5 Nilpotent groups and p -groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.1 Nilpotent groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.2 Finite p -groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.3 Enumeration of finite p -groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.4 Coclass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Enes Pasalic: Symmetric Key Cryptography and its Relation to Graph Theory 123
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 LFSR based stream ciphers and basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Equivalence classes of Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4 Vectorial Boolean functions - substitution boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Vectorial bent functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6 Graph theoretic aspects of Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
